Introduction to probability

確率の壁にぶつかったので,簡単なメモを残します.

基本

1.非負性

{ P(A) \ge 0 } ,for every event A

2.加法性

{P(A\cup B) = P(A) + P(B)}

3.正規性

The probability of the entire sample space \Omega 

P(\Omega) = 1

 

離散モデル

離散確率法則

任意の事象{ s_1, s_2, \ldots, s_n}の確率は

P(\{s_1,s_2,\ldots,s_n\}) = P(\{s_1\}) + P(\{s_2\}) + \cdots + P(\{s_n\})

 

確率法則の性質

A, B, Cを事象とし, 

(a) A \subset B,then P(A) \le P(B) 

(b) P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

(c) P(A \cup B) \le P(A) + P(B)

(d) P(A\cup B \cup C) = P(A) + P(A^c \cap B) + P(A^c \cap B^c \cap C)

ここで, A^c ,B^cは A,Bの補集合である. 

 

条件付確率

ある事象A,Bについて,事象Bが起こった前提の元に事象Aが起こる確率を P(A|B)と表し,これを条件付確率という.

 

 これにも勿論,非負性,加法性,正規性が適用される.

Bが与えられた上で,任意の2離散事象 A_1, A_2が起こる確率は

 

P(A_1 \cup A_2 | B) = \displaystyle \frac{P(A_1 \cup A_2)\cap B}{P(B)}

          \displaystyle \qquad \qquad = \frac{P((A_1 \cap B)\cup (A_2 \cap B) ) }{P(B)}

          \displaystyle \qquad \qquad = \frac{P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B)}{P(B)}

          \displaystyle \qquad \qquad = \frac{P(A_1 \cap B)}{P(B)} + \frac{P(A_2 \cap B)}{P(B)}

          \displaystyle \qquad \qquad = P(A_1 | B) + P(A_2 | B)

となる。

また,不等式 P(A \cup C) \le P(A) + P(C)より

P(A \cup C | B) \le P(A | B) + P(C | B)

が導かれる.

 

とりあえずはここまで,続きは明日書く.

 

参考文献

Introduction to Probability https://www.vfu.bg/en/e-Learning/Math--Bertsekas_Tsitsiklis_Introduction_to_probability.pdf